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最近「 パターン認識と機械学習 」という本を読んでいて、「最尤推定」と「MAP推定」という言葉が出てきたんだけど、本を読んだだけでは今ひとつ理解できなかった。ので、自分の中での整理のために簡単な例を使って説明してみる。間違ってたら教えてください。

1. 最尤推定

今簡略化のために、世の中には4割バッターと1割バッターしかいないとする。そして、ある人が1打席目はヒット、2打席目は三振だったとする。その人は4割バッターだったのか、それとも1割バッターだったのかを推定したい。

まず打率が4割か1割かわからないので、それを仮に「θ」としておく。θは4割バッターだったら0.4だし、1割バッターだったら0.1になる。

で、1打席目はヒット、2打席目が三振となる確率は、(2打席目の確率が1打席目の結果に影響されないとすると)

θ × (1 – θ)

になる。これがいわゆる「尤度関数」というもの。尤度っていう言葉は聞き慣れない言葉だけど、「今起こった事象がどれぐらい有り得そうか」を数字で表すものだと考えたらいい。

で、これを4割バッターの場合と1割バッターの場合でそれぞれ計算する。

4割バッター:0.4 × (1 – 0.4) = 0.24

1割バッター:0.1 × (1 – 0.1) = 0.09

つまり、0.24と0.09なので、どちらかと言えば4割バッターの方が有り得そうだということになる。これが最尤推定。

まとめると、

  1. 求めたいパラメータを変数とする(今回で言えば、打率θ)
  2. それを使って今起きた事象の尤度関数を定義する(今回で言えば、θ × (1 – θ))
  3. 尤度関数が最大になるような変数が求めたいパラメータ
2. MAP推定

上の例の場合、「4割バッターってそんなにそうそういるのか?」という事が考慮されていない。なので、ここでは仮に4割バッターは世の中に2割いて、1割バッターが8割だということにしよう。

つまり、打率θというものはどれか一つに固定化されるようなものではなく、確率的に決まるものだと考える。具体的に言うと、どこかから知らない人を連れてきたら、その人が4割バッターである確率は 0.2 だ、ということだ。これを「事前確率」という。

で、今1打席目ヒット・2打席目三振という事象をヒントと考えたら、その0.2という確率はどうなるだろう?これを「事後確率」といい、ベイズの定理を使うと

「事後確率」は、「尤度関数」×「事前確率」に比例する

という事がわかっている。これを4割バッターと1割バッターでそれぞれ計算する。

4割バッター:0.24 × 0.2 = 0.048

1割バッター:0.09 × 0.8 = 0.072

という事で、0.048 と 0.072 なので、1打席目ヒット・2打席目三振という事象を踏まえた事後確率は1割バッターのほうが高い、なので、1割バッターだろうということになる。これがMAP推定(最大事後確率推定、MAP は Maximum a posteriori の略)。

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ちなみに、本当の事後確率は 0.048 + 0.072 = 0.12 で上の数字を割ったものになる。(4割バッターだったら、0.048 ÷ 0.12 = 0.4)MAP推定では事後確率が最大になるパラメータを求めたいだけなので、事後確率そのものを計算する必要はない。

まとめると、

  1. 求めたいパラメータを変数とする(今回で言えば、打率θ)
  2. パラメータを確率的に決まるものと考え、事前確率を定義する(今回で言えば、4割バッターが2割の確率で存在する事)
  3. 今起きた事象の尤度関数を定義する(今回で言えば、θ × (1 – θ))
  4. 尤度関数 × 事前確率が最大となる変数が求めたいパラメータ

MAP推定を使うと、今回のように「4割バッターはこれぐらいしかいなさそう」というような経験に基づく主観を盛り込むことができるようになるのがメリット。しかし、逆にそれが嫌というケースもあるだろう。

Photo by  Mike Szczepanski on  Unsplash

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