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最近「 パターン認識と機械学習 」という本を読んでいて、「最尤推定」と「MAP推定」という言葉が出てきたんだけど、本を読んだだけでは今ひとつ理解できなかった。ので、自分の中での整理のために簡単な例を使って説明してみる。間違ってたら教えてください。
1. 最尤推定今簡略化のために、世の中には４割バッターと１割バッターしかいないとする。そして、ある人が１打席目はヒット、２打席目は三振だったとする。その人は４割バッターだったのか、それとも１割バッターだったのかを推定したい。
まず打率が４割か１割かわからないので、それを仮に「θ」としておく。θは４割バッターだったら0.4だし、１割バッターだったら0.1になる。
で、１打席目はヒット、２打席目が三振となる確率は、（２打席目の確率が１打席目の結果に影響されないとすると）
θ × (1 – θ)
になる。これがいわゆる「尤度関数」というもの。尤度っていう言葉は聞き慣れない言葉だけど、「今起こった事象がどれぐらい有り得そうか」を数字で表すものだと考えたらいい。
で、これを４割バッターの場合と１割バッターの場合でそれぞれ計算する。
４割バッター：0.4 × (1 – 0.4) = 0.24
１割バッター：0.1 × (1 – 0.1) = 0.09
つまり、0.24と0.09なので、どちらかと言えば４割バッターの方が有り得そうだということになる。これが最尤推定。
まとめると、
- 求めたいパラメータを変数とする（今回で言えば、打率θ）
- それを使って今起きた事象の尤度関数を定義する（今回で言えば、θ × (1 – θ)）
- 尤度関数が最大になるような変数が求めたいパラメータ
上の例の場合、「４割バッターってそんなにそうそういるのか？」という事が考慮されていない。なので、ここでは仮に４割バッターは世の中に２割いて、１割バッターが８割だということにしよう。
つまり、打率θというものはどれか一つに固定化されるようなものではなく、確率的に決まるものだと考える。具体的に言うと、どこかから知らない人を連れてきたら、その人が４割バッターである確率は 0.2 だ、ということだ。これを「事前確率」という。
で、今１打席目ヒット・２打席目三振という事象をヒントと考えたら、その0.2という確率はどうなるだろう？これを「事後確率」といい、ベイズの定理を使うと
「事後確率」は、「尤度関数」×「事前確率」に比例する
という事がわかっている。これを４割バッターと１割バッターでそれぞれ計算する。
４割バッター：0.24 × 0.2 = 0.048
１割バッター：0.09 × 0.8 = 0.072
という事で、0.048 と 0.072 なので、１打席目ヒット・２打席目三振という事象を踏まえた事後確率は１割バッターのほうが高い、なので、１割バッターだろうということになる。これがMAP推定（最大事後確率推定、MAP は Maximum a posteriori の略）。
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ちなみに、本当の事後確率は 0.048 + 0.072 = 0.12 で上の数字を割ったものになる。（４割バッターだったら、0.048 ÷ 0.12 = 0.4）MAP推定では事後確率が最大になるパラメータを求めたいだけなので、事後確率そのものを計算する必要はない。まとめると、
- 求めたいパラメータを変数とする（今回で言えば、打率θ）
- パラメータを確率的に決まるものと考え、事前確率を定義する（今回で言えば、４割バッターが２割の確率で存在する事）
- 今起きた事象の尤度関数を定義する（今回で言えば、θ × (1 – θ)）
- 尤度関数 × 事前確率が最大となる変数が求めたいパラメータ
MAP推定を使うと、今回のように「４割バッターはこれぐらいしかいなさそう」というような経験に基づく主観を盛り込むことができるようになるのがメリット。しかし、逆にそれが嫌というケースもあるだろう。
Photo by Mike Szczepanski on Unsplash